PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1 [977112]: Trong không gian cho hai vectơ 
tạo với nhau một góc 
, 
và 
Tích vô hướng 
bằng
tạo với nhau một góc , và Tích vô hướng bằng A, 
B, 
C, 
D, 
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Vectơ trong không gian).
Mức độ: Nhận biết.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn, thí sinh chỉ chọn một phương án.
💡 Phương pháp: Áp dụng công thức tính tích vô hướng của hai vectơ theo độ dài và góc tạo bởi chúng.
✒️ Lời giải chi tiết:
Ta có công thức tích vô hướng
.
Thay số vào ta được
.
Vì
nên 
.
🔑 Chọn đáp án: A Đáp án: A
Mức độ: Nhận biết.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn, thí sinh chỉ chọn một phương án.
💡 Phương pháp: Áp dụng công thức tính tích vô hướng của hai vectơ theo độ dài và góc tạo bởi chúng.
✒️ Lời giải chi tiết:
Ta có công thức tích vô hướng
.Thay số vào ta được
.Vì
nên .🔑 Chọn đáp án: A Đáp án: A
Câu 2 [681581]: Cho tứ diện đều 
có cạnh bằng 
Tích vô hướng 
bằng
có cạnh bằng Tích vô hướng bằng A, 
B, 
C, 
D, 
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Vectơ trong không gian).
Mức độ: Thông hiểu.
Vì
là tứ diện đều cạnh 
nên 
là tam giác đều cạnh 
Do đó,
Chọn đáp án C. Đáp án: C
Mức độ: Thông hiểu.
Vì
là tứ diện đều cạnh nên là tam giác đều cạnh Do đó,
Chọn đáp án C. Đáp án: C
Câu 3 [1138813]: Cho 
và 
là hai vectơ cùng hướng và đều khác vectơ 
Mệnh đề nào sau đây đúng?
và là hai vectơ cùng hướng và đều khác vectơ Mệnh đề nào sau đây đúng?
A, 
B, 
C, 
D, 
Ta có 
và 
là hai vectơ cùng hướng nên 
Suy ra 
Đáp án: A
và là hai vectơ cùng hướng nên
Suy ra Đáp án: A
Câu 4 [239602]: Cho hai vectơ 
và 
thỏa mãn 
và 
Xác định góc 
giữa hai vectơ 
và 
và thỏa mãn và Xác định góc giữa hai vectơ và A, 
B, 
C, 
D, 
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn, thí sinh chỉ chọn một phương án.
💡 Phương pháp:
Áp dụng công thức tính góc giữa hai vectơ dựa vào tích vô hướng.
✒️ Lời giải chi tiết:
Ta có công thức
.
.
Thay số ta được
.
.
🔑 Chọn đáp án: D. Đáp án: D
💡 Phương pháp:
Áp dụng công thức tính góc giữa hai vectơ dựa vào tích vô hướng.
✒️ Lời giải chi tiết:
Ta có công thức
..Thay số ta được
..🔑 Chọn đáp án: D. Đáp án: D
Câu 5 [380260]: Cho hình lập phương 
Hãy xác định góc giữa hai vectơ 
và 
Hãy xác định góc giữa hai vectơ và A, 
B, 
C, 
D, 
1.Phương pháp: Biến đổi 2 vecto đã cho thành 2 vecto có chung gốc.
2.Cách giải:
Xét hình bình hành
ta có: 
Vậy:
3. Kết luận:
Chọn đáp án A. Đáp án: A
2.Cách giải:
Xét hình bình hành
ta có: Vậy:
3. Kết luận:
Chọn đáp án A. Đáp án: A
Câu 6 [877075]: Cho hình lập phương 
cạnh bằng 
. Giá trị của 
bằng
cạnh bằng . Giá trị của bằng A, 
.
.B, 
.
.C, 
.
.D, 
.
.
Phương pháp:
Sử dụng tính chất của hình lập phương, công thức tích vô hướng của hai vectơ.
Cách giải:
Có hình lập phương
Vì tam giác ABC vuông tại
Chọn D. Đáp án: D
Sử dụng tính chất của hình lập phương, công thức tích vô hướng của hai vectơ.
Cách giải:
Có hình lập phương
Vì tam giác ABC vuông tại
Chọn D. Đáp án: D
Câu 7 [380262]: Cho hình chóp 
có đáy 
là hình chữ nhật, 
Cạnh bên 
vuông góc với mặt phẳng 
và 
Hãy xác định góc giữa hai vectơ 
và 
có đáy là hình chữ nhật, Cạnh bên vuông góc với mặt phẳng và Hãy xác định góc giữa hai vectơ và A, 
B, 
C, 
D, 
1.Phương pháp: Biến đổi 2 vecto đã cho thành 2 vecto có chung gốc.
2.Cách giải:
Ta có:
vuông cân tại 
nên 
Khi đó:
3. Kết luận:
Chọn đáp án B. Đáp án: B
2.Cách giải:
Ta có:
vuông cân tại nên Khi đó:
3. Kết luận:
Chọn đáp án B. Đáp án: B
Câu 8 [380263]: Cho hình chóp tứ giác đều 
có tất cả các cạnh bằng 
Góc giữa hai vectơ 
và 
là?
có tất cả các cạnh bằng Góc giữa hai vectơ và là? A, 
B, 
C, 
D, 
1.Phương pháp: Biến đổi 2 vecto đã cho thành 2 vecto có chung gốc.
2.Cách giải:
Ta có:
3. Kết luận:
Chọn đáp án D. Đáp án: D
2.Cách giải:
Ta có:
3. Kết luận:
Chọn đáp án D. Đáp án: D
Câu 9 [380265]: Cho hình lập phương 
Góc giữa hai vectơ 
và 
là?
Góc giữa hai vectơ và là? A, 
B, 
C, 
D, 
1.Phương pháp: Biến đổi 2 vecto đã cho thành 2 vecto có chung gốc.
2.Cách giải:
Dễ thấy tam giác
là tam giác đều cạnh 
nên 
Xét hình bình hành
ta có 
( hai vecto đối song song và bằng nhau).
Ta có:
3. Kết luận:
Chọn đáp án D. Đáp án: D
2.Cách giải:
Dễ thấy tam giác
là tam giác đều cạnh nên Xét hình bình hành
ta có ( hai vecto đối song song và bằng nhau).Ta có:
3. Kết luận:
Chọn đáp án D. Đáp án: D
Câu 10 [380261]: Cho hình lập phương 
có cạnh bằng 
Tính 
có cạnh bằng Tính A, 
B, 
C, 
D, 
1.Phương pháp: Biến đổi 2 vecto đã cho thành 2 vecto có chung gốc và áp dụng công thức tính tích vô hướng.
2.Cách giải:
Ta có:
3. Kết luận:
Chọn đáp án B. Đáp án: B
2.Cách giải:
Ta có:
3. Kết luận:
Chọn đáp án B. Đáp án: B
Câu 11 [239693]: Cho hai vectơ 
và 
. Biết 
và 
. Tính 
.
và . Biết và . Tính . A, 
.
.B, 
.
.C, 
.
.D, 
.
.
1.Phương pháp: Áp dụng công thức tích vô hướng của 2 vecto và công thức 
2.Cách giải:
Ta có:
,
.
3. Kết luận:
Chọn đáp án B. Đáp án: B
2.Cách giải:
Ta có:
,.
3. Kết luận:
Chọn đáp án B. Đáp án: B
Câu 12 [239698]: Cho hai vectơ 
, 
sao cho 
, 
và hai vectơ 
, 
vuông góc với nhau. Tính góc giữa hai vectơ 
và 
.
, sao cho , và hai vectơ , vuông góc với nhau. Tính góc giữa hai vectơ và . A, 
.
.B, 
.
.C, 
.
.D, 
.
.
1.Phương pháp: Hai vecto 
và 
vuông góc với nhau suy ra 
2.Cách giải:
Vì hai vectơ
, 
vuông góc với nhau nên
3. Kết luận:
Chọn đáp án C. Đáp án: C
và vuông góc với nhau suy ra
2.Cách giải:
Vì hai vectơ
, vuông góc với nhau nên
3. Kết luận:
Chọn đáp án C. Đáp án: C
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 13 [1071437]: Cho hình chóp 
có 
vuông góc với đáy, 
là hình chữ nhật với 
và 
là trung điểm của 
(tham khảo hình vẽ).
có vuông góc với đáy, là hình chữ nhật với và là trung điểm của (tham khảo hình vẽ).
Vì 
và 
là hình chữ nhật nên 
Do đó, ta gắn hệ trục tọa độ với 
Suy ra
.
a) Cách 1: Vì
là trung điểm của 
nên theo quy tắc trung tuyến, ta có 
Cách 2: Thực hiện kiểm chứng bằng tọa độ của vectơ.
Vì
là trung điểm của 
nên 
Ta có
suy ra 
Suy ra mệnh đề a) sai.
b)
Suy ra mệnh đề b) đúng.
c) Ta có
Suy ra 
Suy ra mệnh đề c) sai.
d) Ta có
Suy ra
Suy ra mệnh đề d) đúng.
và là hình chữ nhật nên Do đó, ta gắn hệ trục tọa độ với Suy ra
.a) Cách 1: Vì
là trung điểm của nên theo quy tắc trung tuyến, ta có Cách 2: Thực hiện kiểm chứng bằng tọa độ của vectơ.
Vì
là trung điểm của nên Ta có
suy ra Suy ra mệnh đề a) sai.
b)
Suy ra mệnh đề b) đúng.
c) Ta có
Suy ra Suy ra mệnh đề c) sai.
d) Ta có
Suy ra
Suy ra mệnh đề d) đúng.
Câu 14 [380707]: [SGK Cùng Khám Phá]: Cho tứ diện 
Hai điểm 
lần lượt là trung điểm của 
và 
Biết rằng 
Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
Hai điểm lần lượt là trung điểm của và Biết rằng Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
a) Đúng b) Sai c) Đúng d) Sai
Ta có:
(tính chất trung điểm)
Bình phương hai vế ta được:
Ý D sai vì chưa đủ giả thiết để kết luận về góc giữa hai vectơ
và 
Ta có:
(tính chất trung điểm)Bình phương hai vế ta được:
Ý D sai vì chưa đủ giả thiết để kết luận về góc giữa hai vectơ
và
Câu 15 [1078867]: Cho hình lập phương 
có tâm 
độ dài cạnh bằng 2. Gọi 
là trung điểm của 
có tâm độ dài cạnh bằng 2. Gọi là trung điểm của
a) Đúng. Theo quy tắc hình hộp ta có
b) Sai.
(theo quy tắc trung tuyến)
(theo quy tắc hình hộp, ta có 
và theo quy tắc hình bình hành, ta có 
c) Sai.
(vì 
nên 
do đó hai vectơ 
vuông góc với nhau nên 
d) Sai. Ta có
Suy ra góc giữa hai vectơ
và 
bằng 
Câu 16 [599606]: Cho tứ diện 
Gọi 
lần lượt là trung điểm của 
và 
là trung điểm của 
Gọi 
là trọng tâm của tam giác 
(Hình vẽ).
Gọi lần lượt là trung điểm của và là trung điểm của Gọi là trọng tâm của tam giác (Hình vẽ).
a) Đúng.
Do
là trung điểm của đoạn thẳng 
nên 
b) Đúng.
Ta có:
Vì
lần lượt là trung điểm của 
nên 
Do đó
c) Đúng.
Ta có
d) Sai.
Do
nên
Mặt khác, vì
là trọng tâm của tam giác 
nên 
Suy
suy ra 
Do
là trung điểm của đoạn thẳng nên b) Đúng.
Ta có:
Vì
lần lượt là trung điểm của nên Do đó
c) Đúng.
Ta có
d) Sai.
Do
nên Mặt khác, vì
là trọng tâm của tam giác nên Suy
suy ra PHẦN III. Trả lời ngắn.
Câu 17 [379555]: Cho hình hộp 
có tất cả các mặt bên là hình thoi cạnh 
các góc 
Tính độ dài đường chéo 
có tất cả các mặt bên là hình thoi cạnh các góc Tính độ dài đường chéo
Đặt 
thì 
và 
Ta có:
thì và Ta có:
Câu 18 [1124271]: Trong không gian, cho hình lập phương 
có cạnh bằng 
Tính tích vô hướng của hai vectơ 
và 
có cạnh bằng Tính tích vô hướng của hai vectơ và 
Đặt hệ trục tọa độ
như hình trên.Ta có:
, 
nên 
Nên
, 
nên 
Suy ra
Cách khác:
Câu 19 [1062503]: Cho tứ diện đều 
có thể tích bằng 
Tính tích vô hướng
có thể tích bằng Tính tích vô hướng
Do tứ diện ABCD đều => 
Cách 1:
Gọi
là trọng tâm tam giác 
ta có: 
Khi đó
Diện tích tam giác
là 
suy ra 
Cách 2: Áp dụng công thức tính nhanh thể tích tứ diện đều ABCD cạnh a là
ta có:
Ta có
đều nên 
Vậy đáp án là -18.
Cách 1:
Gọi
là trọng tâm tam giác ta có: Khi đó
Diện tích tam giác
là suy ra Cách 2: Áp dụng công thức tính nhanh thể tích tứ diện đều ABCD cạnh a là
ta có: Ta có
đều nên Vậy đáp án là -18.
Câu 20 [379545]: Cho tứ diện 
có tất cả các cạnh bằng 
Gọi 
là trung điểm của cạnh 
và 
thuộc cạnh 
thoả mãn 
Tính độ dài đoạn thẳng 
(làm tròn đến hai chữ số thập phân)
có tất cả các cạnh bằng Gọi là trung điểm của cạnh và thuộc cạnh thoả mãn Tính độ dài đoạn thẳng (làm tròn đến hai chữ số thập phân)
Đặt
ta có:
Do đó
PHẦN IV. Tự luận.
Câu 21 [1199828]: Cho hình lập phương 
có cạnh bằng 
a) Tính góc giữa hai vectơ
và 
b) Tính tích vô hướng
theo 
có cạnh bằng a) Tính góc giữa hai vectơ
và b) Tính tích vô hướng
theo 
a) Vì
là hình chữ nhật nên 
Suy ra
(vì tam giác 
là tam giác đều).
b) Ta có
Câu 22 [1199829]: Cho hình chóp 
có 
và 
Chứng minh rằng 
có và Chứng minh rằng
Đặt 
Vậy
Vậy