Quay lại
Đáp án
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1 [51359]: Trong không gian với hệ tọa độ cho Tìm tọa độ trung điểm của
A,
B,
C,
D,
Ta có tính theo trung bình cộng hai điểm,
Chọn đáp án D.
Đáp án: D
Câu 2 [1137030]: Trong không gian , cho điểm Tìm tọa độ điểm thỏa mãn ?
A,
B,
C,
D,
Giả sử
Do đó:
Vậy Đáp án: D
Câu 3 [899066]: Trong không gian với hệ tọa độ tam giác có Tìm tọa độ điểm sao cho là trọng tâm tam giác
A,
B,
C,
D,
Vì là trọng tâm nên:
Vậy Chọn A. Đáp án: A
Câu 4 [1128864]: Một điểm được đặt trong hệ trục tọa độ cách gốc tọa độ một khoảng bằng thì có thể có tọa độ nào dưới đây?
A,
B,
C,
D,
Với điểm , ta có
Với điểm , ta có
Với điểm , ta có
Với điểm , ta có Đáp án: C
Câu 5 [1136604]: Cho các điểm , , Khẳng định nào sau đây đúng?
A, Ba điểm thẳng hàng.
B,
C, Trung điểm đoạn thẳng có tọa độ là
D, Tích vô hướng của hai vectơ và bằng 6.
Trung điểm của có tọa độ là: Đáp án: C
Câu 6 [1124257]: Trong không gian với hệ toạ độ , khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng toạ độ là
A,
B,
C,
D,
Mặt phẳng toạ độ có phương trình là:
Đáp án: B
Câu 7 [803785]: Trong không gian , cho , , , khi đó tích vô hướng bằng.
A, .
B, .
C, .
D, .
Chọn đáp án D.
* Ta có ; .
* Khi đó . Đáp án: D
Câu 8 [51061]: Trong không gian với hệ tọa độ cho hai điểm Điểm thuộc trục và cách đều hai điểm có tọa độ là
A,
B, .
C,
D,
Ta có điểm

Ta có điểm cách đều 2 điểm và


Vậy
Chọn đáp án D. Đáp án: D
Câu 9 [51386]: Trong không gian với hệ tọa độ , cho các điểm . Tọa độ điểm thỏa mãn là
A,
B,
C,
D,
Gọi
Ta có
Suy ra
Chọn B. Đáp án: B
Câu 10 [51372]: Trong không gian , cho tam giác có Số đo của góc là
A,
B,
C,
D,
Ta có
Ta thấy vuông cân tại
Suy ra
Chọn đáp án A. Đáp án: A
Câu 11 [51136]: Trong không gian với hệ tọa độ cho Gọi là điểm nằm trên cạnh sao cho Độ dài đoạn là
A,
B,
C,
D,
Gọi
Ta có nằm trên đoạn và


Chọn C. Đáp án: C
Câu 12 [103906]: Trong không gian với hệ trục tọa độ cho hình hộp Biết Tìm tọa độ của hình hộp
A,
B,
C,
D,

Trung điểm của là
Trung điểm của là
Do là hình hộp nên
Chọn D. Đáp án: D
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 13 [399653]: Trong không gian với hệ tọa độ cho ba điểm
a) Đúng
Tọa độ trọng tâm của tam giác suy ra
Vậy
b) Sai
Chu vi của tam giác bằng
c) Đúng
Điểm thuộc trục

d) Đúng
+ Điểm thuộc mặt phẳng
+ Tam giác vuông cân tại suy ra
+ Với

Suy ra
Vậy có hai điểm thoả mãn là
Câu 14 [399655]: Trong không gian với hệ tọa độ cho tam giác có
a) Sai
Trung điểm của là
b) Đúng
+ Giả sử
+ là hình bình hành
Với
c) Sai
+ Góc của tam giác bằng góc giữa hai vectơ và
+ Với suy ra
Vậy cosin góc của tam giác bằng
d) Sai
Ta có
Gọi theo tính chất phân giác ta có Suy ra
Ta có và
Do đó
Suy ra Tổng hoành độ, tung độ, cao độ của toạ độ điểm bằng
Câu 15 [399643]: Trong không gian với hệ trục tọa độ cho
a) Vecto Khẳng định a – sai.
b) Điểm là trọng tâm của tam giác nên
Khẳng định b – đúng.
c) Gọi ta có là hình bình hành nên
Vậy
Khẳng định c - đúng.
d) Gọi là điểm thỏa mãn thì tọa độ điểm thỏa mãn
Khi đó nên đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi là hình chiếu vuông góc của nên trục
Vậy
Khẳng định d – đúng.
Câu 16 [775017]: Một chiếc máy được đặt trên một giá đỡ ba chân với điểm đặt và các điếm tiếp xúc với mặt đất của ba chân lần lượt là (xem hình vẽ).

Biết rằng trọng lượng của chiếc máy là và ba lực tác dụng lên giá đỡ được phân bố như hình vẽ là ba lực có độ lớn đo bằng đơn vị N. Khi đó:
Theo giả thiết, ta có các điểm .
a) Đúng.
Suy ra hay


b) Sai.
Vì chiếc máy đứng yên nên tổng của các lực sẽ bằng với trọng lượng của chiếc máy nên suy ra
c) Đúng.
Tồn tại hằng số sao cho:



Suy ra .
Mặt khác, ta có: , trong đó là trọng lực tác dụng lên máy quay. Suy ra
Suy ra
d) Đúng.
Từ phần c), ta suy ra được
Suy ra
PHẦN III. Trả lời ngắn.
Câu 17 [398657]: [Liên Trường Nghệ An 2024]: Trong không gian , cho hai điểm , . Xét điểm thuộc mặt phẳng sao cho biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó .
Điền đáp án: -1.
Xét
Gọi là điểm thỏa mãn
Khi đó: . Do đó .
Gọi là hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng
Dễ thấy
Dấu “=” xảy ra
Câu 18 [399652]: Cho Điểm thoả mãn đạt giá trị nhỏ nhất. Tính
Điền đáp án: -5.
Ta có:

Chọn điểm thoả
Khi đó

Do tổng không đổi nên đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi nhỏ nhất.
Vậy nhỏ nhất thì Vậy
Suy ra
Câu 19 [384968]: Trong không gian cho hai điểm và Điểm di động trên tia điểm di động trên tia Đường gấp khúc có độ dài nhỏ nhất bằng bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).
Điền đáp án: 10.
TO.3.png
Ta có và là hình chiếu của trên và trên
;
Xét hai tam giác vuông có chung    (2 cạnh góc vuông)

Chứng minh tương tự ta có
Độ dài đường gấp khúc là

Vậy đường gấp khúc có độ dài nhỏ nhất bằng 10
Câu 20 [1005572]: Trong không gian, xem mặt đất là phẳng, gắn hệ trục tọa độ trong đó mặt phẳng trùng với mặt đất, trục hướng về phía nam, trục hướng về phía đông và trục hướng thẳng đứng lên trời (đơn vị đo trên mỗi trục là ). Người quan sát thấy có hai chiếc khinh khí cầu đang bay trên bầu trời. Tại thời điểm bắt đầu quan sát, chiếc thứ nhất đang ở vị trí điểm và bay thẳng về phía Bắc với tốc độ không đổi là còn chiếc thứ hai đang ở vị trí điểm và bay thẳng về phía Đông với tốc độ không đổi là (tham khảo hình vẽ).

Biết rằng trong suốt quá trình bay thì hai chiếc khinh khí cầu luôn giữ nguyên độ cao so với mặt đất. Khoảng cách ngắn nhất giữa hai chiếc khinh khí cầu bằng bao nhiêu ? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)
Đáp án: 0,51
Giả sử sau giờ (), khinh khí cầu thứ nhất bay từ đến , khinh khí cầu thứ hai bay từ đến
Ta có

Suy ra


Ta có BBT:

Có nên
Câu 21 [775023]: Trong không gian , cho ba điểm và Gọi là một điểm nằm trên mặt phẳng sao cho Tìm giá trị nhỏ nhất của (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Điền đáp án: 3,16.

Vì và nên
Gọi là hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng Suy ra
Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông tại ta có
Do đó đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi đạt giá trị nhỏ nhất.
Ta có suy ra
Mặc khác, vì nên .
Do đó với
Xét hàm số với .
Ta có
Ta có và
Do đó Suy ra
Vậy
Câu 22 [1136613]: Một căn phòng có dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài 4 m, chiều rộng 3 m và chiều cao 3 m. Xét hệ trục tọa độ có gốc trùng với một góc phòng và mặt phẳng trùng với mặt sàn (xem hình vẽ), đơn vị đo được lấy theo mét. Trên bức tường thuộc mặt phẳng có một cột dạng hình hộp chữ nhật nhô ra với chiều dài 0,4 m, chiều rộng 0,2 m. Bác Nam lắp một bóng đèn trên tường tại vị trí điểm và công tắc bóng đèn đặt tại điểm . Dây cấp điện cho bóng đèn được đấu từ công tắc điện dọc theo các bức tường (không đi qua trần nhà, sàn nhà) và nối đến bóng đèn. Hỏi bác phải dùng đoạn dây điện có độ dài tối thiểu là bao nhiêu mét (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?
Gọi các đỉnh của đoạn dây điện như ở hình vẽ này:

Trải tường chứa ; tường chứa ;các mặt của cột lên mặt phẳng ta có hình vẽ sau:

Ta nhận thấy như sau: Khi trải phẳng hình như trên; độ dài của đoạn dây điện vẫn được bảo toàn; đồng thời nhìn vào hình vẽ trên ta thấy được độ dài đoạn dây điện sẽ lớn hơn hoặc bằng độ dài đoạn khi trải hình như trên. Như vậy; ta đi tính độ dài đoạn khi trai hình như trên.
Lấy là hình chiếu của lên là hình chiếu của lên
Khi đó ở hình vẽ trên cũng chính bằng khoảng cách từ điểm của đề lên và nó cũng bằng Tương tự
sẽ bằng khoảng cách từ đến và bằng Tương tự
Ta có độ dài
Do đó nên theo định lý Pytago ta có
Vậy nên độ dài đoạn dây điện tối thiểu xấp xỉ