PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1 [527755]: Đường cong trong hình vẽ bên dưới là đồ thị của hàm số nào dưới đây?
A, 
B, 
C, 
D, 
Dựa vào dáng đồ thị loại C, D
Đồ thị hàm số đã cho có đường tiệm cận đứng
và đường tiệm cận ngang 
Suy ra chọn đáp án B. Đáp án: B
Đồ thị hàm số đã cho có đường tiệm cận đứng
và đường tiệm cận ngang
Suy ra chọn đáp án B. Đáp án: B
Câu 2 [382882]: Tâm đối xứng của đồ thị hàm số 
có tọa độ là
có tọa độ là A, 
B, 
C, 
D, 
Ta có: 
Suy ra
là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Vì
; 
và 
Suy ra
là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Tâm đối xứng
của đồ thị là giao điểm của 2 đường tiệm cận. Nên 
.
Đáp án: A
Suy ra
là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.Vì
; và Suy ra
là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.Tâm đối xứng
của đồ thị là giao điểm của 2 đường tiệm cận. Nên .Đáp án: A
Câu 3 [1003066]: Cho hàm số 
có đồ thị như hình vẽ. Phương trình đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho là
có đồ thị như hình vẽ. Phương trình đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho là A, 
B, 
C, 
D, 
Từ đồ thị hàm số ta có tiệm cận xiên có dạng 
đi qua điểm 
và 
ta có hệ:
Chọn đáp án B. Đáp án: B
đi qua điểm và ta có hệ:Chọn đáp án B. Đáp án: B
Câu 4 [280774]: [TK 2023]: Đồ thị hàm số nào dưới đây có dạng đường cong như hình bên?
A, 
.
.B, 
.
.C, 
.
.D, 
.
.
Chọn B
Đồ thị đã cho thuộc dạng đồ thị hàm phân thức hữa tỷ bậc nhất nên dễ dàng loại 3 đáp án A, C, D (hàm đa thức). Đáp án: B
Đồ thị đã cho thuộc dạng đồ thị hàm phân thức hữa tỷ bậc nhất nên dễ dàng loại 3 đáp án A, C, D (hàm đa thức). Đáp án: B
Câu 5 [378484]: Đồ thị trong hình vẽ là đồ thị của hàm số:
A, 
B, 
C, 
D, 
Ta có:
Suy ra
là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 
Vì 
; 
và 
.
Suy ra
là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 
.
Dựa vào đồ thị hàm số đã cho, ta thấy hàm số đã cho có đường tiệm cận đứng là
và đường tiệm cận ngang là 
.
Nên hàm số cần tìm là
Suy ra
là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số Vì ; và .Suy ra
là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số .Dựa vào đồ thị hàm số đã cho, ta thấy hàm số đã cho có đường tiệm cận đứng là
và đường tiệm cận ngang là .Nên hàm số cần tìm là
Chọn đáp án B.
Đáp án: B
Câu 6 [360112]: Đường cong ở hình vẽ là đồ thị của hàm số nào sau đây?
A, 
B, 
C, 
D, 
Ta có:
.
Nên
là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 
.
.
Vì
; 
và 
.
Nên
là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 
.
Đồ thị hàm số
đi qua điểm 
. Đáp án: D
. Nên
là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số .. Vì
; và .Nên
là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số .Đồ thị hàm số
đi qua điểm . Đáp án: D
Câu 7 [916434]: [TN THPT 2021]: Biết hàm số 
(với 
là số thực cho trước, 
có đồ thị như hình vẽ bên). Mệnh đề nào sau đây là đúng?
(với là số thực cho trước, có đồ thị như hình vẽ bên). Mệnh đề nào sau đây là đúng? A, 
B, 
C, 
D, 
Chọn B
Ta có :
(Dựa theo hướng của đồ thị)
Do
nên dấu “=” không xảy ra.
Hàm đơn điệu không phụ thuộc vào
. Đáp án: B
Ta có :
(Dựa theo hướng của đồ thị) Do
nên dấu “=” không xảy ra. Hàm đơn điệu không phụ thuộc vào
. Đáp án: B
Câu 8 [601767]: Cho hàm số 
có đồ thị như hình vẽ dưới đây:
Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
có đồ thị như hình vẽ dưới đây: Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
A, 
B, 
C, 
D, 
Chọn A
Dựa vào đồ thị, ta có:
+) Tiệm cận ngang:
+) Đồ thị cắt trục
tại điểm có tung độ lớn hơn 
nên 
Vậy
Đáp án: A
Dựa vào đồ thị, ta có:
+) Tiệm cận ngang:
+) Đồ thị cắt trục
tại điểm có tung độ lớn hơn nên Vậy
Đáp án: A
Câu 9 [527756]: Bảng biến thiên ở bên dưới là của hàm số nào?
A, 
B, 
C, 
D, 
Từ bảng biến thiên dễ thấy 
;
.
Ta có:
; 
Nên
là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 
.
.
Vì
; 
và 
.
.
Vì
; 
và 
.
Nên
là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 
. Đáp án: B
; .Ta có:
; Nên
là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số .. Vì
; và .. Vì
; và .Nên
là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số . Đáp án: B
Câu 10 [383014]: Đồ thị trong hình vẽ là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số sau:
A, 
B, 
C, 
D, 
Dựa vào đồ thị ta thấy
Hàm số có dạng
nên loại đáp án A.
Hàm số có 2 điểm cực trị và
. Loại đáp án D.
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng
. Suy ra loại đáp án B
Vậy đáp án đúng là C Đáp án: C
Hàm số có dạng
nên loại đáp án A.Hàm số có 2 điểm cực trị và
. Loại đáp án D.Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng
. Suy ra loại đáp án BVậy đáp án đúng là C Đáp án: C
Câu 11 [383015]: Đồ thị trong hình vẽ là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số sau:
A, 
B, 
C, 
D, 
Dựa vào đồ thị ta thấy
Hàm số có dạng
nên loại đáp án B.
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng
. Suy ra loại đáp án C
Hàm số có 2 điểm cực trị nên ta loại đáp án A.
Vậy đáp án đúng là D. Đáp án: D
Hàm số có dạng
nên loại đáp án B.Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng
. Suy ra loại đáp án CHàm số có 2 điểm cực trị nên ta loại đáp án A.
Vậy đáp án đúng là D. Đáp án: D
Câu 12 [382822]: Tâm đối xứng của đồ thị hàm số 
có toạ độ là
có toạ độ là A, 
B, 
C, 
D, 
Đồ thị hàm số
có TCĐ 
TCX 
Vậy tâm đối xứng của đồ thị hàm số
có toạ độ là 
Đáp án: A PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 13 [1002983]: Cho hàm số 
a) Thực hiện bấm máy tính như thầy hướng dẫn trong video bài giải, ta được kết quả 
Suy ra mệnh đề a đúng.
b) Cách 1: Thực hiện phép chia đa thức
Ta được
Suy ra
Suy ra mệnh đề b đúng.
c) Phương pháp: Dựa vào định nghĩa về tính đồng biến của hàm số. Hàm số đã cho đồng biến trên mỗi khoảng xác định
Tập xác định của hàm số đã cho là
Công thức tính đạo hàm nhanh của hàm phân thức
Áp dụng công thức đạo hàm nhanh, ta có
(phương trình vô nghiệm)
Suy ra
hay hàm số đã cho đồng biến trên mỗi khoảng xác định.
Suy ra mệnh đề c đúng.
d) Gợi ý: Tâm đối xứng là giao điểm của hai đường tiệm cận. Nhận biết nhanh đường tiệm cận xiên với hàm số có dạng
với 
là hằng số, thì hàm số có đường tiệm cận xiên là 
Ta có
theo định nghĩa về tiệm cận đứng của hàm số
Suy ra
là đường tiệm cận đứng của hàm số.
Từ phần b) ta thu được
Suy ra 
là một đường tiệm cận xiên của hàm số. (các em có thể tự chứng minh theo định nghĩa tiệm cận xiên).
Khi đó tâm đối xứng của đồ thị hàm số là giao của đường
và đường 
Suy ra tâm đối xứng
Suy ra mệnh đề d đúng.
Suy ra mệnh đề a đúng.
b) Cách 1: Thực hiện phép chia đa thức
Ta được
Suy ra
Suy ra mệnh đề b đúng.
c) Phương pháp: Dựa vào định nghĩa về tính đồng biến của hàm số. Hàm số đã cho đồng biến trên mỗi khoảng xác định
Tập xác định của hàm số đã cho là
Công thức tính đạo hàm nhanh của hàm phân thức
Áp dụng công thức đạo hàm nhanh, ta có
(phương trình vô nghiệm)
Suy ra
hay hàm số đã cho đồng biến trên mỗi khoảng xác định.
Suy ra mệnh đề c đúng.
d) Gợi ý: Tâm đối xứng là giao điểm của hai đường tiệm cận. Nhận biết nhanh đường tiệm cận xiên với hàm số có dạng
với là hằng số, thì hàm số có đường tiệm cận xiên là
Ta có
theo định nghĩa về tiệm cận đứng của hàm số
Suy ra
là đường tiệm cận đứng của hàm số.
Từ phần b) ta thu được
Suy ra là một đường tiệm cận xiên của hàm số. (các em có thể tự chứng minh theo định nghĩa tiệm cận xiên).
Khi đó tâm đối xứng của đồ thị hàm số là giao của đường
và đường
Suy ra tâm đối xứng
Suy ra mệnh đề d đúng.
Câu 14 [858699]: Cho hàm số 
có đồ thị 
.
có đồ thị .
a) Sai: Đồ thị 
có tiệm cận đứng 
và tiệm cận ngang 
.
b) Đúng: Có TXĐ:
c) Sai
Mọi điểm thuộc vào đồ thị
có dạng 
Do đó để tọa độ của điểm là những số nguyên thì 
Ta có
Vì
và 
nên để 
thì biểu thức 
phải là một số nguyên.
phải là ước của 3 (ước nguyên của 
là: 
+)
Điểm là 
+)
Điểm là 
+)
Điểm là 
+)
Điểm là 
Vậy có đúng 4 điểm thuộc đồ thị
có tọa độ là các số nguyên.
d) Sai: Gọi
.
Tứ giác MHOK là hình chữ nhật.
Ta có:
Vậy
Vậy chỉ có 1 điểm
có hoành độ dương thỏa mãn yêu cầu bài toán.
có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang .b) Đúng: Có TXĐ:
c) Sai
Mọi điểm thuộc vào đồ thị
có dạng Do đó để tọa độ của điểm là những số nguyên thì
Ta có
Vì
và nên để thì biểu thức phải là một số nguyên.
phải là ước của 3 (ước nguyên của là:
+)
Điểm là
+)
Điểm là
+)
Điểm là
+)
Điểm là
Vậy có đúng 4 điểm thuộc đồ thị
có tọa độ là các số nguyên.
d) Sai: Gọi
.Tứ giác MHOK là hình chữ nhật.
Ta có:
Vậy
Vậy chỉ có 1 điểm
có hoành độ dương thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 15 [382825]: Một cốc chứa 
dung dịch KOH (potassium hydroxide) với nồng độ 
Một bình chứa dung dịch KOH khác với nồng độ 
được trộn vào cốc. Gọi nồng độ KOH trong cốc sau khi trộn 
từ bình chứa, kí hiệu là 
dung dịch KOH (potassium hydroxide) với nồng độ Một bình chứa dung dịch KOH khác với nồng độ được trộn vào cốc. Gọi nồng độ KOH trong cốc sau khi trộn từ bình chứa, kí hiệu là
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm đúng sai, thí sinh chọn đúng hoặc sai trong mỗi ý a), b), c), d).
💡 Phương pháp: Lập biểu thức khối lượng và thể tích dung dịch sau khi trộn, xây dựng hàm nồng độ
, giải phương trình, xét đạo hàm để khảo sát tính đơn điệu và giới hạn của hàm số.
✒️Lời giải chi tiết:
a) Đúng.
Khối lượng dung dịch trong cốc sau khi trộn
từ bình chứa là 
Thể tích dung dịch trong cốc sau khi trộn
từ bình chứa là 
Nồng độ
trong cốc sau khi trộn 
từ bình chứa là 
b) Sai.
c) Sai.
Vậy
là hàm số nghịch biến trên 
d) Đúng.
Vì
và 
nên nồng độ 
trong cốc giảm theo 
nhưng luôn lớn hơn 
🔑 Điền đáp án: a) Đúng b) Sai c) Sai d) Đúng.
💡 Phương pháp: Lập biểu thức khối lượng và thể tích dung dịch sau khi trộn, xây dựng hàm nồng độ
, giải phương trình, xét đạo hàm để khảo sát tính đơn điệu và giới hạn của hàm số.✒️Lời giải chi tiết:
a) Đúng.
Khối lượng dung dịch trong cốc sau khi trộn
từ bình chứa là Thể tích dung dịch trong cốc sau khi trộn
từ bình chứa là Nồng độ
trong cốc sau khi trộn từ bình chứa là b) Sai.
c) Sai.
Vậy
là hàm số nghịch biến trên d) Đúng.
Vì
và nên nồng độ trong cốc giảm theo nhưng luôn lớn hơn 🔑 Điền đáp án: a) Đúng b) Sai c) Sai d) Đúng.
Câu 16 [1002984]: Cho hàm số 
có bảng biến thiên như hình vẽ.
có bảng biến thiên như hình vẽ.
a) Sai. Vì:
Từ bảng biến thiên của hàm số ta có tập xác định:
Nên hàm số không liên tục trên khoảng
Hàm số 
không đồng biến trên khoảng 
b) Đúng. Vì:
Từ bảng biến thiên ta thấy:
và 
Nên đồ thị hàm số
có tiệm cận đứng là đường thẳng 
c) Sai. Vì:
Ta xét:
Do đồ thị hàm số
có tiệm cận đứng là đường thẳng 
Từ BBT ta thấy hàm số đi qua điểm
nên ta có
Vậy giá trị của
là 
d) Đúng. Vì:
Xét:
Từ BBT ta có:
Vậy
Suy ra đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận xiên:
Tọa độ tâm của hàm số là
Vậy điểm
là tâm đối xứng của đồ thị hàm số 
Từ bảng biến thiên của hàm số ta có tập xác định:
Nên hàm số không liên tục trên khoảng
Hàm số không đồng biến trên khoảng b) Đúng. Vì:
Từ bảng biến thiên ta thấy:
và Nên đồ thị hàm số
có tiệm cận đứng là đường thẳng c) Sai. Vì:
Ta xét:
Do đồ thị hàm số
có tiệm cận đứng là đường thẳng Từ BBT ta thấy hàm số đi qua điểm
nên ta cóVậy giá trị của
là d) Đúng. Vì:
Xét:
Từ BBT ta có:
Vậy
Suy ra đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận xiên:
Tọa độ tâm của hàm số là
Vậy điểm
là tâm đối xứng của đồ thị hàm số PHẦN III. Trả lời ngắn.
Câu 17 [382827]: Trên đồ thị hàm số 
có bao nhiêu điểm có toạ độ đều nguyên.
có bao nhiêu điểm có toạ độ đều nguyên.
Gọi 
Khi đó ta có:
Vậy có 4 giá trị thoả mãn đề bài.
Khi đó ta có:
Vậy có 4 giá trị thoả mãn đề bài.
Câu 18 [1003016]: Một xưởng thủ công mỹ nghệ sản xuất loại chụp đèn trang trí dạng hình chóp cụt tứ giác đều. Gọi 
là độ dài cạnh đáy lớn (đơn vị:dm). Tính toán cho thấy tổng chi phí vật liệu (tính bằng nghìn đồng) cho một chụp đèn là 
(nghìn đồng). Thời gian sản xuất cho một chụp đèn được xác định là 
(giờ). Xưởng muốn xác định kích thước 
để chi phí vật liệu trung bình trên một giờ sản xuất là thấp nhất, nhằm tối ưu hóa hiệu quả sử dụng thời gian và vật liệu. Hãy tìm giá trị của 
là độ dài cạnh đáy lớn (đơn vị:dm). Tính toán cho thấy tổng chi phí vật liệu (tính bằng nghìn đồng) cho một chụp đèn là (nghìn đồng). Thời gian sản xuất cho một chụp đèn được xác định là (giờ). Xưởng muốn xác định kích thước để chi phí vật liệu trung bình trên một giờ sản xuất là thấp nhất, nhằm tối ưu hóa hiệu quả sử dụng thời gian và vật liệu. Hãy tìm giá trị của
Đáp án: 6
Gọi hàm chi phí vật liệu trung bình trên một giờ sản xuất là
Ta có
Ta có bảng biến thiên :
Từ bảng biến thiên ta thấy
đạt GTNN bằng 
khi 
Vậy để chi phí vật liệu trung bình trên một giờ sản xuất là thấp nhất thì
Gọi hàm chi phí vật liệu trung bình trên một giờ sản xuất là
Ta có
Ta có bảng biến thiên :
Từ bảng biến thiên ta thấy
đạt GTNN bằng khi
Vậy để chi phí vật liệu trung bình trên một giờ sản xuất là thấp nhất thì
Câu 19 [1199823]: Trong mùa mưa lũ, nước ở trên thượng nguồn đổ dồn về hạ lưu rất mạnh nên thường làm lệch quỹ đạo chuyển động của tàu, thuyền trên sông. Giả sử trong một hệ trục tọa độ 
cho trước, một chiếc thuyền đang ở tại điểm 
và chuyển động về phía gốc tọa độ 
Do dòng chảy mạnh nên thuyền di chuyển trên cung đường
là một phần của đồ thị hàm số 
như hình vẽ, với 
Gọi 
là một điểm bất kỳ nằm trên cung đường di chuyển của chiếc thuyền. Khi hoành độ của 
là 1 thì tung độ của nó bằng bao nhiêu?
(Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)
cho trước, một chiếc thuyền đang ở tại điểm và chuyển động về phía gốc tọa độ Do dòng chảy mạnh nên thuyền di chuyển trên cung đường
là một phần của đồ thị hàm số như hình vẽ, với Gọi là một điểm bất kỳ nằm trên cung đường di chuyển của chiếc thuyền. Khi hoành độ của là 1 thì tung độ của nó bằng bao nhiêu?(Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)
Yêu cầu bài toán: Tính 
Gợi ý: Sử dụng dữ kiện: Đồ thị đi qua các điểm
và 
Vì đồ thị đi qua
và 
nên ta có hệ phương trình 
Khi đó hàm số ban đầu trở thành
(chia cả tử và mẫu cho 
với 
Lại có đồ thị hàm số đi qua
ta có 
Vậy tung độ của
cần tìm là 
Điền đáp án: 1,33.
Gợi ý: Sử dụng dữ kiện: Đồ thị đi qua các điểm
và
Vì đồ thị đi qua
và nên ta có hệ phương trình
Khi đó hàm số ban đầu trở thành
(chia cả tử và mẫu cho
với
Lại có đồ thị hàm số đi qua
ta có
Vậy tung độ của
cần tìm là
Điền đáp án: 1,33.
Câu 20 [774166]: Ở ngoài vịnh biển, ngoài xa có một hòn đảo nhỏ. Người ta tiến hành lấn biển để xây một khu đô thị và làm một tuyến cáp treo nối khu đô thị và hòn đảo để phát triển du lịch. Xét trong hệ toạ độ 
với đơn vị tương ứng 1 km có hòn đảo ở 
thì đường bao của phần đất lấn biển có dạng một phần của đồ thị hàm số 
Giả sử tuyến cáp treo được thiết kế nối đảo với đường bao của khu đô thị với độ dài ngắn nhất. Độ dài tuyến cáp treo là bao nhiêu km (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
với đơn vị tương ứng 1 km có hòn đảo ở thì đường bao của phần đất lấn biển có dạng một phần của đồ thị hàm số Giả sử tuyến cáp treo được thiết kế nối đảo với đường bao của khu đô thị với độ dài ngắn nhất. Độ dài tuyến cáp treo là bao nhiêu km (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Điền đáp án: 2,2.
Gọi
là điểm thuộc đường bao của khu đô thị. Nên suy ra 
Giả sử độ dài của cáp treo là
vì độ dài cáp treo là ngắn nhất nên ta cần tìm 
Xét hàm số
trên khoảng 
Ta có
Bảng biến thiên
Suy ra
Vậy giá trị nhỏ nhất của tuyến cáp treo là
Gọi
là điểm thuộc đường bao của khu đô thị. Nên suy ra Giả sử độ dài của cáp treo là
vì độ dài cáp treo là ngắn nhất nên ta cần tìm Xét hàm số
trên khoảng Ta có
Bảng biến thiên
Suy ra
Vậy giá trị nhỏ nhất của tuyến cáp treo là
Câu 21 [1095090]: Trong hệ trục toạ độ 
đơn vị mỗi trục là mét, một đường trượt mới sẽ được xây dựng theo bản thiết kế đã trình bày như hình vẽ. Thanh trượt bắt đầu từ 
và kết thúc tại 
đường cong của thanh trượt là một phần của đồ thị hàm số 
biết đồ thị hàm số 
tiếp xúc với trục 
tại điểm 
Bạn Nam bắt đầu trượt từ điểm
hỏi khi Nam cách vị trí ban đầu theo phương ngang một khoảng 5 mét thì Nam cách mặt đất bao nhiêu mét, biết trục 
nằm trên mặt đất (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
đơn vị mỗi trục là mét, một đường trượt mới sẽ được xây dựng theo bản thiết kế đã trình bày như hình vẽ. Thanh trượt bắt đầu từ và kết thúc tại đường cong của thanh trượt là một phần của đồ thị hàm số biết đồ thị hàm số tiếp xúc với trục tại điểm Bạn Nam bắt đầu trượt từ điểm
hỏi khi Nam cách vị trí ban đầu theo phương ngang một khoảng 5 mét thì Nam cách mặt đất bao nhiêu mét, biết trục nằm trên mặt đất (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Nội dung kiến thức: Toán 12 (Hàm số)
Mức độ: Vận dụng (8+)
Đường trượt được là một phần của đồ thị hàm số
Yêu cầu bài toán: Tính khoảng cách từ Nam đến mặt đất khi Nam cách vị trí ban đầu theo phương ngang một khoảng 5 mét (và khoảng cách này bằng
Ghi nhớ: Một hàm số bậc hai có đồ thị
tiếp xúc với trục hoành tại điểm 
thì khi đó phương trình 
có nghiệm kép là 
và hàm số 
Quan sát hình vẽ, ta thấy
(là một phương trình bậc hai) có đồ thị tiếp xúc trục hoành tại điểm 
nên tử số của 
có nghiệm kép là 
hay có phương trình là 
Suy ra
Từ giả thiết bài toán kết hợp quan sát hình vẽ, ta có
Vậy khoảng cách từ Nam đến mặt đất khi Nam cách vị trí ban đầu theo phương ngang một khoảng 5 mét là
Điền đáp án: 1,67.
Mức độ: Vận dụng (8+)
Đường trượt được là một phần của đồ thị hàm số
Yêu cầu bài toán: Tính khoảng cách từ Nam đến mặt đất khi Nam cách vị trí ban đầu theo phương ngang một khoảng 5 mét (và khoảng cách này bằng
Ghi nhớ: Một hàm số bậc hai có đồ thị
tiếp xúc với trục hoành tại điểm thì khi đó phương trình có nghiệm kép là và hàm số
Quan sát hình vẽ, ta thấy
(là một phương trình bậc hai) có đồ thị tiếp xúc trục hoành tại điểm nên tử số của có nghiệm kép là hay có phương trình là
Suy ra
Từ giả thiết bài toán kết hợp quan sát hình vẽ, ta có
Vậy khoảng cách từ Nam đến mặt đất khi Nam cách vị trí ban đầu theo phương ngang một khoảng 5 mét là
Điền đáp án: 1,67.
Câu 22 [1098337]: Gia đình ông Tuấn đi cắm trại tại một ngôi nhà ở vùng ngoại ô. Nhiệt độ ngoài trời ở nơi này ổn định ở mức 
Trong đêm, hệ thống máy sưởi bị hỏng. Khi gia đình ông Tuấn thức dậy, nhiệt độ trong ngôi nhà lúc này là 
thay vì mức thông thường là 
(như khi máy sưởi vẫn hoạt động). Một giờ sau khi thức dậy nhiệt độ đo được trong phòng là 
Ông Tuấn sử dụng hàm số 
(đơn vị 
để tính toán nhiệt độ trong ngôi nhà sau 
(giờ) kể từ khi máy sưởi bị hỏng. Biết rằng nếu xét trong một thời gian dài không có máy sưởi thì nhiệt độ trong căn phòng sẽ tiến đến mức nhiệt độ ngoài trời. Dựa vào mô hình trên, hãy cho biết máy sưởi bị hỏng trước lúc gia đình ông Tuấn thức dậy bao nhiêu phút (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Trong đêm, hệ thống máy sưởi bị hỏng. Khi gia đình ông Tuấn thức dậy, nhiệt độ trong ngôi nhà lúc này là thay vì mức thông thường là (như khi máy sưởi vẫn hoạt động). Một giờ sau khi thức dậy nhiệt độ đo được trong phòng là Ông Tuấn sử dụng hàm số (đơn vị để tính toán nhiệt độ trong ngôi nhà sau (giờ) kể từ khi máy sưởi bị hỏng. Biết rằng nếu xét trong một thời gian dài không có máy sưởi thì nhiệt độ trong căn phòng sẽ tiến đến mức nhiệt độ ngoài trời. Dựa vào mô hình trên, hãy cho biết máy sưởi bị hỏng trước lúc gia đình ông Tuấn thức dậy bao nhiêu phút (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Hàm số).
Mức độ: Vận dụng (8+).
Giả sử máy sưởi bị hỏng trước lúc gia đình ông Tuấn thức dậy
giờ.
Chọn
khi đó 
Từ giả thiết “trong một thời gian dài không có máy sưởi thì nhiệt độ trong căn phòng sẽ tiến đến mức nhiệt độ ngoài trời (tức –6°C)” ta có
Lại có nhiệt độ trong ngôi nhà sau 0 giờ kể từ khi máy sưởi bị hỏng bằng 25°C nên ta có
Suy ra
Từ giả thiết: “Khi gia đình ông Tuấn thức dậy, nhiệt độ trong ngôi nhà lúc này là 22°C” ta có
Lại có “Một giờ sau khi thức dậy (tức sau khi máy sưởi hỏng
giờ) nhiệt độ đo được trong phòng là 15°C” ta có 
Thay
vào phương trình 
ta được 
(phút).
Vậy máy sưởi bị hỏng trước lúc gia đình ông Tuấn thức dậy 17,4 phút.
Điền đáp án: 17,4.
Mức độ: Vận dụng (8+).
Giả sử máy sưởi bị hỏng trước lúc gia đình ông Tuấn thức dậy
giờ.
Chọn
khi đó
Từ giả thiết “trong một thời gian dài không có máy sưởi thì nhiệt độ trong căn phòng sẽ tiến đến mức nhiệt độ ngoài trời (tức –6°C)” ta có
Lại có nhiệt độ trong ngôi nhà sau 0 giờ kể từ khi máy sưởi bị hỏng bằng 25°C nên ta có
Suy ra
Từ giả thiết: “Khi gia đình ông Tuấn thức dậy, nhiệt độ trong ngôi nhà lúc này là 22°C” ta có
Lại có “Một giờ sau khi thức dậy (tức sau khi máy sưởi hỏng
giờ) nhiệt độ đo được trong phòng là 15°C” ta có
Thay
vào phương trình ta được (phút).
Vậy máy sưởi bị hỏng trước lúc gia đình ông Tuấn thức dậy 17,4 phút.
Điền đáp án: 17,4.
PHẦN IV. Tự luận.
Câu 23 [879596]: Ước tính chi phí hằng năm (tính bằng tỉ đồng) để một nhà máy loại bỏ 
chất gây ô nhiễm được cho bởi công thức 
a) Tính chi phí cần bỏ ra để loại bỏ
chất gây ô nhiễm.
b) Chi phí cần bỏ ra sẽ thay đổi thế nào khi
tăng?
c) Có thể loại bỏ được 100% chất gây ô nhiễm không? Vì sao?
chất gây ô nhiễm được cho bởi công thức a) Tính chi phí cần bỏ ra để loại bỏ
chất gây ô nhiễm.b) Chi phí cần bỏ ra sẽ thay đổi thế nào khi
tăng?c) Có thể loại bỏ được 100% chất gây ô nhiễm không? Vì sao?
Lưu ý: Các em sửa trên đề bài 
thành 
.Vì sách lần đầu tái bản nên không tránh được những sai sót, các thầy cô sẽ hoàn thiện hơn trong những tái bản tiếp theo. Cảm ơn các em!
1.Phương pháp: Đối với hàm số có dạng:
Tập xác định:
Tính đạo hàm hàm số:
2.Cách giải:
a)
(tỉ đồng)
Vậy chi phí cần bỏ ra để loại bỏ
chất gây ô nhiễm là 4680 tỉ đồng.
b) Tập xác định của hàm số là:
Ta có:
Vì
và 
Ta lập bảng biến thiên của hàm số:
Từ bảng biến thiên ta có: Khi
tăng từ 0% đến 100% thì chi phí cần bỏ ra sẽ tăng theo và tăng cực nhanh khi 
gần 100%.
c)
Để hàm
có nghĩa khi 
Vậy không thể loại bỏ được 100% chất gây ô nhiễm.
3. Kết luận:
a) Chi phí cần bỏ ra để loại bỏ 90% chất gây ô nhiễm là 4680 tỉ đồng.
b) Khi
tăng từ 0% đến 100% thì chi phí cần bỏ ra sẽ tăng theo và tăng cực nhanh khi 
gần 100%.
c) Không thể loại bỏ được 100% chất gây ô nhiễm.
thành .Vì sách lần đầu tái bản nên không tránh được những sai sót, các thầy cô sẽ hoàn thiện hơn trong những tái bản tiếp theo. Cảm ơn các em!1.Phương pháp: Đối với hàm số có dạng:
Tập xác định:
Tính đạo hàm hàm số:
2.Cách giải:
a)
(tỉ đồng)Vậy chi phí cần bỏ ra để loại bỏ
chất gây ô nhiễm là 4680 tỉ đồng.b) Tập xác định của hàm số là:
Ta có:
Vì
và Ta lập bảng biến thiên của hàm số:
Từ bảng biến thiên ta có: Khi
tăng từ 0% đến 100% thì chi phí cần bỏ ra sẽ tăng theo và tăng cực nhanh khi gần 100%.c)
Để hàm
có nghĩa khi Vậy không thể loại bỏ được 100% chất gây ô nhiễm.
3. Kết luận:
a) Chi phí cần bỏ ra để loại bỏ 90% chất gây ô nhiễm là 4680 tỉ đồng.
b) Khi
tăng từ 0% đến 100% thì chi phí cần bỏ ra sẽ tăng theo và tăng cực nhanh khi gần 100%.c) Không thể loại bỏ được 100% chất gây ô nhiễm.
Câu 24 [879598]: Người ta muốn chế tạo một chiếc hộp hình hộp chữ nhật có thể tích 
với yêu cầu dùng ít vật liệu nhất. Chiều cao hộp là 
các kích thước khác là 
(cm), 
(cm) với 
và 
a) Chứng tỏ rằng
b) Tìm diện tích toàn phần
của chiếc hộp theo 
c) Lập bảng biến thiên của hàm số
trên khoảng 
d) Tìm kích thước của hộp để tiết kiệm vật liệu nhất (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của mi-li-mét.)
với yêu cầu dùng ít vật liệu nhất. Chiều cao hộp là các kích thước khác là (cm), (cm) với và a) Chứng tỏ rằng
b) Tìm diện tích toàn phần
của chiếc hộp theo c) Lập bảng biến thiên của hàm số
trên khoảng d) Tìm kích thước của hộp để tiết kiệm vật liệu nhất (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của mi-li-mét.)
1.Phương pháp: Công thức: 
2.Cách giải:
a) Diện tích mặt đáy của hình hộp chữ nhật là:
Ta có:
Vậy
b) Diện tích toàn phần của chiếc hộp là
c) Xét
Tập xác định:
Ta có bảng biến thiên hàm số:
d) Ta thấy để tiết kiệm vật liệu nhất thì kích thước của hộp phải min hay
đạt min.
Từ BTT, ta có:
khi 
3. Kết luận:
a)
b) Diện tích toàn phần của chiếc hộp là
c) Ta có bảng biến thiên như trên.
d) Để tiết kiệm vật liệu nhất thì kích thước của hộp phải là
à 
2.Cách giải:
a) Diện tích mặt đáy của hình hộp chữ nhật là:
Ta có:
Vậy
b) Diện tích toàn phần của chiếc hộp là
c) Xét
Tập xác định:
Ta có bảng biến thiên hàm số:
d) Ta thấy để tiết kiệm vật liệu nhất thì kích thước của hộp phải min hay
đạt min.Từ BTT, ta có:
khi 3. Kết luận:
a)
b) Diện tích toàn phần của chiếc hộp là
c) Ta có bảng biến thiên như trên.
d) Để tiết kiệm vật liệu nhất thì kích thước của hộp phải là
à