PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1 [506275]: Tâm đối xứng của đồ thị hàm số 
có tọa độ là
có tọa độ là A, 
.
.B, 
.
.C, 
.
.D, 
.
.
Chọn đáp án A.
Vì tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là
.
Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là
.
Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là giao điểm của hai đường tiệm cận là
. Đáp án: A
Vì tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là
.Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là
.Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là giao điểm của hai đường tiệm cận là
. Đáp án: A
Câu 2 [1003067]: Cho hàm số 
(với 
) có đồ thị như hình vẽ. Phương trình đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho là:
(với ) có đồ thị như hình vẽ. Phương trình đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho là: A, 
B, 
C, 
D, 
Từ đồ thị hàm số đã cho, ta thấy tiệm cận xiên đi qua hai điểm 
và 
Phương trình đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số có dạng:
Vậy phương trình đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho là
Chọn B.
Đáp án: B
và Phương trình đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số có dạng:
Vậy phương trình đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho là
Chọn B.
Đáp án: B
Câu 3 [360116]: Đường cong nào sau đây là đồ thị của hàm số 
A, 
B, 
C, 
D, 
Ta có:
.
Nên
là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 
Vì
; 
và 
.
Nên
là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 
Đáp án: B
. Nên
là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số Vì
; và .Nên
là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số Đáp án: B
Câu 4 [30671]: Bảng biến thiên ở bên là của hàm số nào?
A, 
B, 
C, 
D, 
Chọn đáp án C.
Do
là tiệm cận đứng của hàm số nên loại B, D.
là tiệm cận ngang của hàm số nên loại A. Đáp án: C
Do
là tiệm cận đứng của hàm số nên loại B, D. là tiệm cận ngang của hàm số nên loại A. Đáp án: C
Câu 5 [27961]: Đồ thị hình bên dưới là của hàm số nào?
A, 
B, 
C, 
D, 
Ta thấy đồ thị có tiệm cận đứng là 
suy ra loại A.
suy ra loại A. Vì đồ thị đi qua điểm 
suy ra loại B, D.
Đáp án: C suy ra loại B, D. Suy ra chọn đáp án C.
Câu 6 [511897]: Đồ thị trong hình vẽ dưới đây là đồ thị của hàm số nào?
A, 
B, 
C, 
D, 
Chọn B
Đồ thị hàm số nhận
làm đường tiệm cận đứng và 
làm đường tiệm cận ngang.
Đồ thị hàm số đi qua
và 
nên là đồ thị của hàm số 
. Đáp án: B
Đồ thị hàm số nhận
làm đường tiệm cận đứng và làm đường tiệm cận ngang. Đồ thị hàm số đi qua
và nên là đồ thị của hàm số . Đáp án: B
Câu 7 [383010]: Đồ thị trong hình vẽ là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số dưới đây?
A, 
B, 
C, 
D, 
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Hàm số).
Mức độ: Thông hiểu.
Dựa vào hình dạng đồ thị ta thấy hàm số đã cho là hàm số bậc hai trên bậc nhất. Do đó, loại A, B.
Hàm số đã cho không có cực trị và
Do đó, loại C.
Chọn đáp án D. Đáp án: D
Mức độ: Thông hiểu.
Dựa vào hình dạng đồ thị ta thấy hàm số đã cho là hàm số bậc hai trên bậc nhất. Do đó, loại A, B.
Hàm số đã cho không có cực trị và
Do đó, loại C. Chọn đáp án D. Đáp án: D
Câu 8 [23342]: Đồ thị hình vẽ bên dưới là đồ thị của một trong 4 hàm số được liệt kê ở các phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi đó là hàm số nào?
A, 
B, 
C, 
D, 
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là 
và tiệm cận ngang 
do đó loại A và B.
và tiệm cận ngang do đó loại A và B. Lại có đồ thị hàm số cắt trục 
tại điểm có hoành độ dương nên loại C.
Đáp án: D tại điểm có hoành độ dương nên loại C. Suy ra chọn đáp án D.
Câu 9 [527757]: Bảng biến thiên ở bên dưới là của hàm số nào?
A, 
B, 
C, 
D, 
Từ đồ thị dễ thấy 
;
Ta có:
.
Vì
;
; 
.
.
Vì
;
; 
.
;
. Đáp án: C
;Ta có:
. Vì
;; ..Vì
;; . ; . Đáp án: C
Câu 10 [383011]: Đồ thị trong hình vẽ là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số dưới đây
A, 
B, 
C, 
D, 
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Hàm số).
Mức độ: Thông hiểu.
Các phương trình ta xét đều có dạng
Từ đồ thị ta thấy hàm số đã cho 2 cực trị và
Xét các đáp án A, B, C, D suy ra loại B, C.
Dựa vào đồ thị hàm số ta có hàm số có tiệm cận đứng
Suy ra loại đáp án A.
Vậy đáp án đúng là D.
Chọn đáp án D. Đáp án: D
Mức độ: Thông hiểu.
Các phương trình ta xét đều có dạng
Từ đồ thị ta thấy hàm số đã cho 2 cực trị và
Xét các đáp án A, B, C, D suy ra loại B, C.
Dựa vào đồ thị hàm số ta có hàm số có tiệm cận đứng
Suy ra loại đáp án A.
Vậy đáp án đúng là D.
Chọn đáp án D. Đáp án: D
Câu 11 [801485]: Đường cong ở hình vẽ dưới đây là đồ thị của hàm số 
với 
là các số thực.
Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
với là các số thực.Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A, 
B, 
C, 
D, 
Điều kiện xác định của hàm số là 
Mà
chính là tiệm cận đứng của hàm số đã cho. Quan sát hình vẽ, ta thấy hàm số có đường tiệm cận đứng là 
Suy ra điều kiện xác định của hàm số là
Xét từ trái qua phải, ta thấy đồ thị hàm số đi lên, do đó hàm số đã cho đồng biến trên khoảng xác định và ta có
Chọn đáp án B. Đáp án: B
Mà
chính là tiệm cận đứng của hàm số đã cho. Quan sát hình vẽ, ta thấy hàm số có đường tiệm cận đứng là
Suy ra điều kiện xác định của hàm số là
Xét từ trái qua phải, ta thấy đồ thị hàm số đi lên, do đó hàm số đã cho đồng biến trên khoảng xác định và ta có
Chọn đáp án B. Đáp án: B
Câu 12 [27362]: Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số 
là
là A, 
B, 
C, 
D, 
Bài toán tổng quát: Cho hàm số 
là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số với 
bậc 2 và 
bậc 1.
là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số với bậc 2 và bậc 1. Vậy với hàm số 
là đường thẳng cần tìm. Chọn B.
Đáp án: B là đường thẳng cần tìm. Chọn B.
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 13 [715749]: Cho hàm số 
có đồ thị 
có đồ thị
a) Đúng.
b) Đúng.
Ta có:
là đường tiệm cận đứng.
c) Sai.
Ta có
Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là đường thẳng
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng
và tiệm cận xiên là đường thẳng 
Tâm đối xứng của đồ thị là giao điểm của hai đường tiệm cận là
d) Đúng.
Ta có:
Điểm
có tọa độ nguyên thì 
Mà 9 có 6 ước số nên có 6 điểm có tọa độ nguyên.
b) Đúng.
Ta có:
là đường tiệm cận đứng.c) Sai.
Ta có
Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là đường thẳng
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng
và tiệm cận xiên là đường thẳng Tâm đối xứng của đồ thị là giao điểm của hai đường tiệm cận là
d) Đúng.
Ta có:
Điểm
có tọa độ nguyên thì Mà 9 có 6 ước số nên có 6 điểm có tọa độ nguyên.
Câu 14 [382826]: Trong Vật lí, điện trở tương đương 
của hai điện trở 
mắc song song được
xác định bởi công thức
biết rằng 
Đặt 
Xem biểu thức tính 
là một hàm số 
của hai điện trở mắc song song đượcxác định bởi công thức
biết rằng Đặt Xem biểu thức tính là một hàm số
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm đúng sai, thí sinh chọn đúng hoặc sai trong mỗi ý a), b), c), d).
💡 Phương pháp:
Biến đổi biểu thức hàm số về dạng đơn giản, tính giá trị hàm tại điểm cụ thể, xét đạo hàm để kết luận tính đơn điệu và giải phương trình liên quan đến giá trị của hàm số.
✒️ Lời giải chi tiết:
Ta có
.
Xét ý a), ta tính
nên khẳng định đã cho là đúng.
Xét ý b), với
ta có 
.
Vì
nên hàm số 
đồng biến trên khoảng 
, do đó khẳng định là đúng.
Xét ý c), giải phương trình
.
Ta có
, nên khẳng định là đúng.
Xét ý d), do
nên 
tăng khi 
tăng.
Mặt khác
.
Suy ra khi
tăng thì điện trở 
tăng nhưng không vượt quá 
, nên khẳng định là đúng.
🔑 Điền đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng
💡 Phương pháp:
Biến đổi biểu thức hàm số về dạng đơn giản, tính giá trị hàm tại điểm cụ thể, xét đạo hàm để kết luận tính đơn điệu và giải phương trình liên quan đến giá trị của hàm số.
✒️ Lời giải chi tiết:
Ta có
.Xét ý a), ta tính
nên khẳng định đã cho là đúng.Xét ý b), với
ta có .Vì
nên hàm số đồng biến trên khoảng , do đó khẳng định là đúng.Xét ý c), giải phương trình
.Ta có
, nên khẳng định là đúng.Xét ý d), do
nên tăng khi tăng.Mặt khác
.Suy ra khi
tăng thì điện trở tăng nhưng không vượt quá , nên khẳng định là đúng.🔑 Điền đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng
Câu 15 [695176]: Ta coi Trái Đất là hình cầu hoàn hảo với bán kính 
và diện tích toàn phần là 
Các phi hành gia từ tàu vũ trụ chỉ có thể nhìn thấy một phần bề mặt Trái Đất. Ở độ cao 
phần diện tích Trái Đất các phi hành gia có thể nhìn thấy sẽ được tính theo công thức 
trong đó 
là bán kính Trái Đất. Gọi 
là tỷ số diện tích bề mặt Trái Đất nhìn thấy được ở độ cao 
với diện tích toàn phần của Trái Đất.
và diện tích toàn phần là Các phi hành gia từ tàu vũ trụ chỉ có thể nhìn thấy một phần bề mặt Trái Đất. Ở độ cao phần diện tích Trái Đất các phi hành gia có thể nhìn thấy sẽ được tính theo công thức trong đó là bán kính Trái Đất. Gọi là tỷ số diện tích bề mặt Trái Đất nhìn thấy được ở độ cao với diện tích toàn phần của Trái Đất.
a) Sai.
Ta có
b) Sai.
Ở độ cao
tỉ lệ diện tích bề mặt Trái Đất có thể nhìn thấy là
c) Sai.
Muốn nhìn thấy
diện tích bề mặt Trái Đất thì 
d) Đúng.
+) Ta có
Suy ra
là đồng biến trên khoảng 
Nên
luôn tăng khi 
tăng.
+) Ta có
Vậy khi độ cao
càng tăng lên thì 
càng tăng nhưng không vượt quá 
Ta có
b) Sai.
Ở độ cao
tỉ lệ diện tích bề mặt Trái Đất có thể nhìn thấy là c) Sai.
Muốn nhìn thấy
diện tích bề mặt Trái Đất thì d) Đúng.
+) Ta có
Suy ra
là đồng biến trên khoảng Nên
luôn tăng khi tăng.+) Ta có
Vậy khi độ cao
càng tăng lên thì càng tăng nhưng không vượt quá
Câu 16 [1002986]: Cho hàm số 
có bảng biến thiên như hình vẽ.
có bảng biến thiên như hình vẽ.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm đúng sai, thí sinh chọn đúng hoặc sai trong mỗi ý a), b), c), d).
💡 Phương pháp: Sử dụng định nghĩa tiệm cận đứng, bảng biến thiên, điều kiện cực trị và phép biến đổi đại số để xét tính đúng sai của từng mệnh đề.
✒️ Lời giải chi tiết:
a) Sử dụng định nghĩa về đường tiệm cận đứng của hàm số.
Từ bảng biến thiên, ta thấy
là đường tiệm cận đứng của hàm số.
b) Vì tính từ trái qua phải, tại điểm
, ta có 
đổi chiều từ 
sang 
là điểm cực tiểu của hàm số, giá trị cực tiểu tương ứng là 
.
c) Từ phần a), ta có
là tiệm cận đứng của hàm số nên 
.
Hàm số đi qua điểm
nên 
.
Khi đó
.
Ta có
.
Vì
là điểm cực trị nên 
.
d) Từ các phần trên, ta có
.
Hàm số đi qua điểm
nên 
.
Suy ra
.
🔑 Điền đáp án: a) Đúng, b) Đúng, c) Đúng, d) Đúng.
💡 Phương pháp: Sử dụng định nghĩa tiệm cận đứng, bảng biến thiên, điều kiện cực trị và phép biến đổi đại số để xét tính đúng sai của từng mệnh đề.
✒️ Lời giải chi tiết:
a) Sử dụng định nghĩa về đường tiệm cận đứng của hàm số.
Từ bảng biến thiên, ta thấy
là đường tiệm cận đứng của hàm số.b) Vì tính từ trái qua phải, tại điểm
, ta có đổi chiều từ sang là điểm cực tiểu của hàm số, giá trị cực tiểu tương ứng là .c) Từ phần a), ta có
là tiệm cận đứng của hàm số nên .Hàm số đi qua điểm
nên .Khi đó
.Ta có
.Vì
là điểm cực trị nên .d) Từ các phần trên, ta có
.Hàm số đi qua điểm
nên .Suy ra
.🔑 Điền đáp án: a) Đúng, b) Đúng, c) Đúng, d) Đúng.
PHẦN III. Trả lời ngắn.
Câu 17 [383009]: Hai điểm 
lần lượt thuộc hai nhánh của đồ thị hàm số 
Độ dài ngắn nhất của đoạn thẳng 
bằng:
lần lượt thuộc hai nhánh của đồ thị hàm số Độ dài ngắn nhất của đoạn thẳng bằng:
Ta có: 
.
Đặt
Ta có:
Gọi
thuộc nhánh trái, 
thuộc nhánh phải của đồ thị hàm số.Với 
Ta có:
Dấu bằng xảy ra
Vậy với
thì 
có độ dài ngắn nhất bằng 
.
.Đặt
Ta có:
Gọi
thuộc nhánh trái, thuộc nhánh phải của đồ thị hàm số.Với Ta có: Dấu bằng xảy ra
Vậy với
thì có độ dài ngắn nhất bằng .
Câu 18 [703160]: Đường đi của một khinh khí cầu được gắn trong hệ trục tọa độ là một phần của đường cong bậc hai trên bậc nhất có đồ thị cắt trục hoành tại hai điểm có tọa độ là 
và 
với đơn vị trên hệ trục tọa độ là 
km.
Biết rằng điểm cực đại của đồ thị hàm số là điểm
Hỏi khi khí cầu đi qua điểm cực đại và cách mặt đất 
m thì khí cầu cách gốc tọa độ theo phương ngang bao nhiêu? (đơn vị: km).
và với đơn vị trên hệ trục tọa độ là km.Biết rằng điểm cực đại của đồ thị hàm số là điểm
Hỏi khi khí cầu đi qua điểm cực đại và cách mặt đất m thì khí cầu cách gốc tọa độ theo phương ngang bao nhiêu? (đơn vị: km).
Điền đáp án: 
Cách 1:
Gọi
là đường đi của khinh khí cầu.
Khi đó, phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là
, phương trình đường thẳng này đi qua điểm 
suy ra 
đi qua điểm 
nên 
Cách 2:
Gọi
là đường đi của khinh khí cầu.
Khi đó:
Ta có: Ta có:
Ta có:
Vậy khi khí cầu đi qua điểm cực đại và cách mặt đất
thì khí cầu cách gốc tọa độ theo phương ngang 
Cách 1:
Gọi
là đường đi của khinh khí cầu. Khi đó, phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là
, phương trình đường thẳng này đi qua điểm suy ra đi qua điểm nên Cách 2:
Gọi
là đường đi của khinh khí cầu. Khi đó:
Ta có: Ta có:
Ta có:
Vậy khi khí cầu đi qua điểm cực đại và cách mặt đất
thì khí cầu cách gốc tọa độ theo phương ngang
Câu 19 [1003015]: Để hạn chế vi phạm thời gian làm việc đối với công nhân, giám đốc công ty quyết định xử lý bằng cách phạt tiền. Nhờ sự giám sát chặt chẽ của các quản đốc, giám đốc công ty biết được trong một tháng, giữa tỉ lệ công nhân vi phạm đùng 
lần 
là 
(trong đó 
là số công nhận vi phạm đúng 
lần, 
là tổng số công nhân) và mức phạt mỗi lần vi phạm có mối liên hệ như sau:
Nếu mỗi công nhân nộp phạt
nghìn đồng 
khi vi phạm lần thứ nhất và nộp phạt 
nghìn đồng khi vi phạm lần thứ hai thì 
và 
(không có công nhân nào vi phạm quá hai lần).
Biết rằng
không đổi và bằng 
Tổng số tiền nộp phạt trong một tháng ít nhất là bao nhiêu triệu đồng? (làm tròn kết quả ở hàng đơn vị)
lần là (trong đó là số công nhận vi phạm đúng lần, là tổng số công nhân) và mức phạt mỗi lần vi phạm có mối liên hệ như sau:Nếu mỗi công nhân nộp phạt
nghìn đồng khi vi phạm lần thứ nhất và nộp phạt nghìn đồng khi vi phạm lần thứ hai thì và (không có công nhân nào vi phạm quá hai lần).Biết rằng
không đổi và bằng Tổng số tiền nộp phạt trong một tháng ít nhất là bao nhiêu triệu đồng? (làm tròn kết quả ở hàng đơn vị)
Đáp án: 103
+ Tỉ lệ công nhân vi phạm 1 lần là:
Số công nhân vi phạm 1 lần là: 
+ Tỉ lệ công nhân vi phạm 2 lần là:
Số công nhân vi phạm 2 lần là: 
Tổng số tiền nộp phạt trong một tháng là:
Ta có:
Bảng biến thiên:
Vậy
(nghìn đồng) = 
triệu đồng.
+ Tỉ lệ công nhân vi phạm 1 lần là:
Số công nhân vi phạm 1 lần là: + Tỉ lệ công nhân vi phạm 2 lần là:
Số công nhân vi phạm 2 lần là: Tổng số tiền nộp phạt trong một tháng là:Ta có:
Bảng biến thiên:
Vậy
(nghìn đồng) = triệu đồng.
Câu 20 [1003018]: Một công ty muốn đầu tư vào hệ thống điện mặt trời có công suất 
(đơn vị tính: 
). Theo nghiên cứu cho thấy một số thông tin sau: Chi phí đầu tư ban đầu là 
(tỷ đồng). Doanh thu hàng năm là 
(tỷ đồng/năm). Chi phí vận hành hàng năm là 
(tỷ đồng/năm). Hãy tìm công suất 
(làm tròn đến hàng đơn vị) để tối đa hóa lợi nhuận trên đầu tư, được tính là tỷ lệ lợi nhuận hang năm trên chi phí đầu tư ban đầu.
(đơn vị tính: ). Theo nghiên cứu cho thấy một số thông tin sau: Chi phí đầu tư ban đầu là (tỷ đồng). Doanh thu hàng năm là (tỷ đồng/năm). Chi phí vận hành hàng năm là (tỷ đồng/năm). Hãy tìm công suất (làm tròn đến hàng đơn vị) để tối đa hóa lợi nhuận trên đầu tư, được tính là tỷ lệ lợi nhuận hang năm trên chi phí đầu tư ban đầu.
Lợi nhuận hàng năm 
Tỷ lệ lợi nhuận hàng năm trên chi phí đầu tư ban đầu
Ta có
Do 
là công suất nên 
nên 
Ta có bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên, để tối đa hóa lợi nhuận trên đầu tư thì
Tỷ lệ lợi nhuận hàng năm trên chi phí đầu tư ban đầu
Ta có
Do là công suất nên nên Ta có bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên, để tối đa hóa lợi nhuận trên đầu tư thì
Câu 21 [1003020]: Một người quản lý ở một trang trại nuôi cá xác định rằng: Sau 
tháng kể từ khi thả 
con cá 
(với 
) thì khối lượng trung bình 
tính theo kilogram của một con cá 
ước tính là 
Người này cũng nhận định tỉ lệ giữa số lượng cá 
còn sống trong ao so với số lượng cá 
thả ban đầu sau 
tháng kể từ ngày thả là 
Biết rằng sản lượng cá 
tại một thời điểm được tính bằng tổng khối lượng của các con cá 
đã thả còn sống trong ao lúc đó. Hỏi với những nhận định trên của một người quản lý thì dự kiến trong tối đa 
tháng nuôi, sản lượng cá 
lớn nhất có thể đạt được là bao nhiêu? (kết quả tính theo đơn vị kilogram)?
tháng kể từ khi thả con cá (với ) thì khối lượng trung bình tính theo kilogram của một con cá ước tính là Người này cũng nhận định tỉ lệ giữa số lượng cá còn sống trong ao so với số lượng cá thả ban đầu sau tháng kể từ ngày thả là Biết rằng sản lượng cá tại một thời điểm được tính bằng tổng khối lượng của các con cá đã thả còn sống trong ao lúc đó. Hỏi với những nhận định trên của một người quản lý thì dự kiến trong tối đa tháng nuôi, sản lượng cá lớn nhất có thể đạt được là bao nhiêu? (kết quả tính theo đơn vị kilogram)?
Đáp án: 459
Số lượng cá
còn sống trong ao vào tháng thứ 
kể từ ngày thả là 
(con).
Sản lượng cá
vào tháng thứ 
kể từ ngày thả là
(kg).
Xét
trên 
Ta có
Cho
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta có sản lượng cá lớn nhất có thể đạt được là
kg.
Số lượng cá
còn sống trong ao vào tháng thứ kể từ ngày thả là (con).
Sản lượng cá
vào tháng thứ kể từ ngày thả là
(kg).
Xét
trên
Ta có
Cho
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta có sản lượng cá lớn nhất có thể đạt được là
kg.
Câu 22 [857346]: Một máy bay trình diễn có đường bay gắn với hệ trục 
được mô phỏng như hình vẽ, trục 
gắn với mặt đất. Đường bay có dạng là một phần của đồ thị của hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất 
có đường tiệm cận đứng 
. Điểm 
là giao điểm của đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số 
và trục 
được gọi là điểm giới hạn. Biết rằng máy bay xuất phát tại vị trí 
cách gốc tọa độ 
một khoảng 2,5 đơn vị và máy bay khi ở vị trí cao nhất cách điểm xuất phát 1,5 đơn vị theo phương song song với trục 
và cách mặt đất 4,5 đơn vị. Vị trí máy bay tiếp đất cách điểm giới hạn một khoảng bằng bao nhiêu?
được mô phỏng như hình vẽ, trục gắn với mặt đất. Đường bay có dạng là một phần của đồ thị của hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất có đường tiệm cận đứng . Điểm là giao điểm của đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số và trục được gọi là điểm giới hạn. Biết rằng máy bay xuất phát tại vị trí cách gốc tọa độ một khoảng 2,5 đơn vị và máy bay khi ở vị trí cao nhất cách điểm xuất phát 1,5 đơn vị theo phương song song với trục và cách mặt đất 4,5 đơn vị. Vị trí máy bay tiếp đất cách điểm giới hạn một khoảng bằng bao nhiêu?
Cách giải:
Hàm số bậc hai trên bậc nhất có dạng
Theo giả thiết ra có:
Vì
thuộc đồ thị hàm số nên 
(1)
Ta có:
(2)
Từ (1) và (2) suy ra
Khi đó
Vậy
là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số
Tọa độ giao điểm
là nghiệm của hệ phương trình 
Tương tự ta tìm được
Vậy vị trí máy bay tiếp đất cách điểm giới hạn một khoảng 0,5 đơn vị.
Hàm số bậc hai trên bậc nhất có dạng
Theo giả thiết ra có:
Vì
thuộc đồ thị hàm số nên (1)Ta có:
(2)Từ (1) và (2) suy ra
Khi đó
Vậy
là tiệm cận xiên của đồ thị hàm sốTọa độ giao điểm
là nghiệm của hệ phương trình Tương tự ta tìm được
Vậy vị trí máy bay tiếp đất cách điểm giới hạn một khoảng 0,5 đơn vị.
PHẦN IV. Tự luận.
Câu 23 [1003017]: Cho hàm số 
có đồ thị là 
Gọi 
là giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị 
a) Tìm phương trình các đường tiệm cận của đồ thị hàm số đã cho.
b) Trên đồ thị
tìm toạ độ điểm 
với 
sao cho khoảng cách 
là nhỏ nhất, tìm giá trị nhỏ nhất đó ?
có đồ thị là Gọi là giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị
a) Tìm phương trình các đường tiệm cận của đồ thị hàm số đã cho.
b) Trên đồ thị
tìm toạ độ điểm với sao cho khoảng cách là nhỏ nhất, tìm giá trị nhỏ nhất đó ?
Ta có 
Đồ thị
có tiệm cận đứng là 
và tiệm cận xiên là 
khi 
Đồ thị
có tiệm cận đứng là và tiệm cận xiên là
khi
Câu 24 [1003019]: Cho điểm 
trên mặt phẳng tọa độ. Một đường thẳng đi qua 
cắt trục hoành tại 
cắt trục tung tại 
tạo thành một tam giác 
nằm trong góc phần tư thứ nhất, với 
là gốc tọa độ.
a) Biết hoành độ điểm
là 
với 
Tính diện tích tam giác 
theo 
Kí hiệu diện tích này là 
b) Lập bảng biến thiên của hàm số
và tìm vị trí điểm B để diện tích tam giác OBC là nhỏ nhất.
trên mặt phẳng tọa độ. Một đường thẳng đi qua cắt trục hoành tại cắt trục tung tại tạo thành một tam giác nằm trong góc phần tư thứ nhất, với là gốc tọa độ.a) Biết hoành độ điểm
là với Tính diện tích tam giác theo Kí hiệu diện tích này là b) Lập bảng biến thiên của hàm số
và tìm vị trí điểm B để diện tích tam giác OBC là nhỏ nhất.
a) Từ giả thiết hoành độ điểm 
là 
suy ra 
Suy ra
Suy ra vectơ pháp tuyến của đường thẳng
là 
Đường thẳng
đi qua điểm 
và có vectơ pháp tuyến 
có phương trình là 
Vì điểm
nên ta có 
Khi đó,
Diện tích tam giác 
là 
Vậy
b) Để tìm vị trí điểm
để diện tích tam giác 
là nhỏ nhất hay hàm số 
đạt giá trị nhỏ nhất, ta đi khảo sát hàm số 
trên khoảng 
Bảng biến thiên của hàm số
Từ bảng biến thiên, suy ra hàm số
đạt giá trị nhỏ nhất tại 
khi đó 
Vậy với
thì diện tích tam giác 
là nhỏ nhất.
là suy ra Suy ra
Suy ra vectơ pháp tuyến của đường thẳng
là Đường thẳng
đi qua điểm và có vectơ pháp tuyến có phương trình là Vì điểm
nên ta có Khi đó,
Diện tích tam giác là Vậy
b) Để tìm vị trí điểm
để diện tích tam giác là nhỏ nhất hay hàm số đạt giá trị nhỏ nhất, ta đi khảo sát hàm số trên khoảng Bảng biến thiên của hàm số
Từ bảng biến thiên, suy ra hàm số
đạt giá trị nhỏ nhất tại khi đó Vậy với
thì diện tích tam giác là nhỏ nhất.